モーメント母関数と分布の再生性

ゴリゴリ文系の自分が統計の勉強をしていて(^q^)となった概念シリーズ。

勉強のためにまとめたもの。

・モーメント母関数について

その分布の特徴を数値化する工夫として、モーメントというものがあります。

モーメントは積率ともいわれ、分布の平均値やＳＤ、歪度や尖度を数値化するものです。

その概念を使用したモーメント母関数（積率母関数）というものがあります。母関数とは、何かを生み出す関数というニュアンスで、モーメント母関数＝モーメントを生み出す関数＝モーメント母関数に一定の操作を施すとモーメントが算出される、というものです。

統計学を学んでいると出てくる用語で、確率分布の性質を導くうえで便利なものです。

モーメント母関数を用いる際には、確率変数 X に対して，

が存在するとき、これをtの関数とみてモーメント母関数（積率母関数）と定義します。

例えば、

幾何分布

$$$$に従う確率変数Ｘの期待値を求めるとします。計算の便宜上、(1-p)→qとします。

幾何分布のモーメント母関数は

となります。

このモーメント母関数を利用しやすい形にするために、についてM(t)をtで微分します。↓

M^(r) (t)=E(X^re^tx)　　となります。ここでt=0とおけば

M^(r)(0)=E(X^r)　　　となります。

よってこの期待値はM⁽¹⁾ =1/pとなりました（途中計算省）。

・分布の再生性について

例えば、「互いに独立に正規分布に従う確率変数の和」が従う分布は常に正規分布になります。なので、正規分布は再生性をもつということになります。

確率変数Ｘ,Ｙが互いに独立にそれぞれ正規分布N(μ1,σ1),N(μ2,σ2)に従う場合、Ｘ＋Ｙが従う分布のモーメント母関数は（途中計算省略）、正規分布N(μ1+μ2,σ1+σ2)のモーメント母関数になる。したがってＸ＋Ｙが正規分布に従うこと、すなわち正規分布は再生性を持つということになります。