行列のランク

ゴリゴリ文系の自分が統計の勉強をしていて(^q^)となった概念シリーズ。

勉強のためにまとめたもの。

・行列のランク

行列において、少なくとも１つは０でない要素がある行の個数、ないし行ベクトルのうち零ベクトルにならないものの個数を、その行列のランク（階数）といいます。

ランクはベクトルの線形独立性との関りがあり、その線形独立（一次独立）である列ベクトルの最大個数とイコールになります。

ある行列が与えられたとき、それを複数の方程式とみなして式を消去していく要領で、最終的にいくつかの式が残った時、その式の個数？がランクというイメージです。

一般に、m×n行列Ａに対し、一次変換の像｛Ax; x∈Rⁿ｝の次元をＡのランクといい、rank(A)で表します。

一般に、m×n（ただし、m≧n）行列Ａにおいて、

rank(A)=nのときフルランクといい、

rank(A)＜nのときランク落ちしているといいます。

とくに、正方行列がランク落ちしている場合は、連立方程式の解が存在しても一意でなく不定となります。標本の大きさ＜母数の個数、となる場合なんかが該当します。

Ｒのエラーでランクがどうのこうの言われることがあって('A`)でしたので、せめて直感的に理解できるようになれたらいいなと思う。